第582章 卡拉比猜想
31岁的意大利裔数学家卡拉比，在会议的邀请报告中用一页纸写下了他著名的猜想：令M为紧致的卡勒（Kahler）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式R，都存在唯一的一个卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明方案，并证明了，如果解存在，那必是唯一的。
但3年后，在1957年的一篇关于Calabi-Yau流形的几何结构的文章中，他意识到这个证明根本行不通。
卡拉比心想：“会不会有反重力现象？”
卡拉比心里在想如果宇宙只有引力，那只能是依靠其他天体的引力才能把地球上的东西给吸引起来。
如果要是这样的话，那只能需要在地球外面包一个巨大的外壳。
这个外壳极其巨大，还有巨大的引力。
这个巨大的引力就可以让地球上的引力场被抵消掉。
听起来浪费的东西更多，需要比地球更重的巨大壳层。
先不想了。
但是这倒是有个现成的类比，就是这就好比是在地球中央的某一层，这一层刚好让地球的引力开始有这样向外吸引和向内吸引的抵消状态。
如果把中心挖空了，自己就更加悬浮了。
而此刻在这个空壳中，会有力场。
1) Monge-Ampere方程（）
常见于黎曼几何的非线性偏微分方程。
是一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作复的Monge-Ampere方程。
魏尔说：“当时还没有足够的数学理论来攻克它。”
这个方程需要用动态图才可以演示出来。
2)庞加莱单值化定理（）
众所周知，庞加莱（Poincare）著名的单值化定理告诉我们，一维复流形的万有覆盖只有简单的三种，球面、复平面和单位圆盘。
如何将单值化定理推广到高维流形，这个问题几乎主导了现代几何与拓扑的发展。而即使从复一维到复二维流形，问题的复杂性已经远超想象，被数学家称作是从天堂到了地狱。或者说是上帝创造了黎曼面，简单美丽而又丰富多彩，是魔鬼制造了复曲面，内容复杂，令人眼花缭乱，头晕目眩。
卡拉比猜想可以认为是单值化定理在高维不可思议的大胆推广，竟然给出了高维复流形中难得一见的一般规律。
3) Kahler-Einstein度量（）
特别的是它在复卡勒流形的第一陈类大于零、等于零和小于零三个情形，指出了Kahler-Einstein度量的存在性，即此度量的第一陈形式等于其卡勒形式。
这恰好对应于黎曼面三种单值化的推广。
要知道，当时人们知道的爱因斯坦流形的例子都是局部齐性的，甚至都不知道复投影空间中的超曲面，如K3曲面上，是否有爱因斯坦度量。
正如庞加莱的单值化定理，霍奇定理需要经过数年，乃至数十年努力才得到完美的证明一样，卡拉比猜想也在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。
4)解决沃尔夫猜想（）
读研究生的第一年，丘成桐初试身手，便解决了微分几何中一个有关负曲率流形基本群的结构问题，事后他才知道这就是微分几何中著名的沃尔夫猜想。
这一点颇像米尔诺（Milnor）把扭结理论里的猜想当成家庭作业完成一样。
为了解决卡拉比猜想，他需要系统地创建和发展流形上的非线性分析，特别是Monge-Ampere方程的理论、方法与技巧。
5)闵可夫斯基（Minkowski）猜想和伯恩斯坦（Bernstein）问题（）
他先与郑绍远合作，用实的Monge-Ampere方程解决了著名的闵可夫斯基（Minkowski）猜想和闵可夫斯基时空中的伯恩斯坦（Bernstein）问题，此后再将他自己发展的梯度估计技术发挥到极致，终于在1975年完全解决了卡拉比猜想。
首先，对于第一陈类小于和等于零的紧卡勒流形，卡拉比猜想告诉我们，Kahler-Einstein度量总是存在。
6) Severi猜想（）
其中对小于零的情形，其简单的推论就解决了长期悬而未决的Severi猜想，复二维投影空间的复结构是唯一的，甚至任意维数复投影空间的卡勒复结构也是唯一的。
另一个匪夷所思的推论是，在任意维数的这类复流形上，存在一个奇妙的陈示性数不等式，而此前代数几何学家却只能得到复二维的情形。
7) K3曲面（）
第一陈类等于零的二维复流形是有名的K3曲面，托尔罗夫（Todorov）用Calabi-Yau定理证明了其周期映射是满射，萧荫堂利用Calabi-Yau度量证明了所有的K3曲面都是卡勒曲面。
而高维数的第一陈类为零的复流形的基本结构定理也随之而来。
这些都是复几何与代数几何中著名的猜想，在卡拉比猜想证明之前，人们毫无办法，望而却步。
最令人惊奇的是上世纪80年代初，超弦学家们认识到第一陈类等于零的三维复流形，恰好是他们的大统一理论所需要的十维时空中的一个六维空间，这神秘的六维空间，在我们看不到的尺度里主宰着我们大千世界的千变万化。
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